viernes, 15 de febrero de 2013

Aplicaciones del algebra matricial en Criptografia.

Existen muchas aplicaciones del álgebra matricial en diversas áreas, entre ellas veremos una de las aplicaciones de las matrices invertibles en Criptografía ( un área que se ocupa del diseño de algoritmos para trasmitir mensajes de forma segura) y en programación que es un área que se ocupa del diseño de algoritmos de problemas que permiten satisfacer ciertas demandas de la sociedad actual.  Las matrices facilitan y hacen mas cortos los diseños de algoritmos, la eficacia de estos tanto en Criptografía como en programación depende del usuario.
 
   Este tema es una clase que se le puede dictar a estudiantes de computación entrelazando las materias del Álgebra lineal y Programación.

Hoy en día son muchas las situaciones cotidianas donde efectivamente hacemos uso de la criptografía como: 



 
 
 
 
 
 
 
 


Objetivo

Crear un método sencillo de codificación(diseño de algoritmos) de mensajes introduciendo las ideas básicas de la criptografía y programacion, mediante el uso de herramientas básicas del álgebra matricial.


Competencia


     Diseñar algoritmos de codificación dominando las nociones básicas de matrices y vectores; como suma, resta, multiplicación y las propiedades de matrices invertibles(matrices quasi-ortogonales o ortogonales) para la creación de códigos y mensajes, además descifrar los mensajes creados por sus compañeros de clase, conociendo el código y la matriz de codificación.

Indicadores

Indicadores Conceptuales
Indicadores
Procedimentales
Indicadores Actitudinales

ü Reconoce el sistema matricial m*n.
üIdentifica la matriz Ortogonal.
ü Conoce la formula de calcular el determinante del sistema m*n.
ü Define las propiedades de las matrices.
üIdentifica la matriz invertible.
ü Reconoce la transformación matricial.
üConoce las formulas de suma, resta, multiplicación del sistema matricial
ü Calcula  la inversa de una matriz.
ü  Calcula correctamente la suma, resta y multiplicación de matrices.
ü  Genera el código y la matriz de codificación que cumpla que la matriz sea invertible y ortogonal.
ü  Elabora el algoritmo de codificación del mensaje.
üDecodifica eficazmente el mensaje realizado por sus compañeros de clase.
ü Cumple con las tareas asignadas.
ü Adquiere confianza y seguridad en el desarrollo de codificación y decodificación.
ü Valora las relaciones existentes entre el sistema matricial y la solución de los problemas.
ü Propicia debates sobre el tema entre sus compañeros de clases.
ü Valora el producto obtenido con constancia  y dedicación.


Fenomenología

     Fenomenología de los conocimientos. Bloque funciones: se trabaja con transformación matricial, pues se diseña algoritmos biunívoco que asigna a cada carácter del mensaje otro carácter.
 
Ejemplo de Modelización:
 

El mensaje

         matriz inversa                                                                                          matriz de codificación
        mensaje codificado        

  
 
Para realizar el Algoritmo el emisor como el receptor deben conocer el código y la matriz de codificacion.


El código                                                                                          La Matriz de codificación
  • El Primer paso es obtener el código .
  • Se elige la dimensión del  sistema matricial.
    Como se elige trabajar con el sistema matricial 2*2  separamos los caracteres del mensaje de dos en dos, si hacen falta caracteres añada al final del mensaje.



QU ED AM OS EN EL SA MB IL AL AS NU EV EZ

En este caso yo le agregue el carácter Z al final del mensaje de tal forma que el receptor deseche los caracteres que no tienen sentido.
  
Ahora colocamos los caracteres en vectores columna de dimensión dos asignándole el código de la tabla:


Ahora elegimos la transformación matricial que encripte aun mas el mensaje tomando la matriz de codificacion y transformamos los vectores dados, multiplicando la matriz de codificacion con los vectores , quedando el siguiente mensaje:

2616704769432202314231643355641543570436435342051284724
 
El Proceso es compatible con cualquier otra dimensión de matrices, lo que cambia es que dependiendo del tamaño que tomemos la matriz de codificacion, vamos agrupar los caracteres del mensaje, es decir si tomamos la matriz de codificacion de orden 3 agruparemos los caracteres de tres en tres. Notar que el proceso de codifiacción de fases puede aumentar, todo depende del programador, teniendo en cuenta que también puede aumentar ellas posibilidades de error.
Es mas cómodo que la matriz de codificacion elegida sea ortogonal( su determinante es uno) pues los cálculos son menos engorrosos.

Ejercicio
Codificar el siguiente mensaje: ArthurnCayley desarrolla el algebra matricial, definiendo las operaciones basicas,la inversa de una matriz,las potencias de una matriz, matrices simetricas y antisimetricas, por ello se considera el fundador del algebra de matrices.

Ejemplo en Programación
Se requiere un algoritmo para informar la matricula y la condicion final de cada alumno en una materia. En la materia se Tomeron cuatro examenes parciales y no hubo recuperativo, las condiciones finales pueden ser:
Reprobado: el alumno obtuvo un promedio menor que 10 puntos.
Regular: el alumno obtuvo un promedio entre 10 y 15 puntos.
Apobado: el alumno obtuvo un promedio mayor o igual que 15.
Se asume que cincuenta alumnos culminaron el cursado de la materia.
Solucion:

Los datos se almacenaranen matrices.  Una matriz de matriculas y promedios de cincuenta filas y dos columnas( una  fila para cada alumno, una columna para la matricula y otra para el promedio.)  Las notas requieren una matriz de cincuenta filas y cuatro columnas (una columna para cada examen).
Todos los datos que corresponden a un alumno se encuentran en la  misma fila de ambas matrices.N

2 comentarios:

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